Mouvement d'une voiture

Extrait du sujet de baccalauréat STL, métropole, 2003.

Lors d'une séance expérimentale, un binôme d'élèves réalise la vidéo du mouvement d'une voiture miniature de masse \(m=0{,}040~\)kg, en roue libre.
L'étude est menée dans le référentiel du sol supposé galiléen. Le mouvement de la voiture est rectiligne et s'effectue selon un axe horizontal \((\text{O}x)\) fixe.

1. L'analyse de la vidéo obtenue par le binôme d'élèves, au moyen d'un logiciel de pointage, permet d'obtenir le graphe de l'évolution de la position \(x\) du centre de masse \(\text{G}\) de la voiture au cours du temps.

    a. En prenant appui sur la figure et en justifiant, décrire l'évolution (croissante, décroissante...) de la vitesse de la voiture au cours du temps.   
    b. En utilisant la figure, calculer la vitesse moyenne de la voiture entre les instants \(t_0 = 0\) et \(t = 0{,}1~\)s.
2. Le nuage expérimental de points peut être modélisé par une fonction polynomiale sur l'intervalle de temps \([0\,;0{,}50]\), le temps étant exprimé en secondes.
On rappelle que la position \(x\) est exprimée en mètres.
Cette fonction, notée \(x\), a pour expression \(x(t)=-0{,}58\times t^2+0{,}65\times t\).
La fonction \(x\) est dérivable sur l'ensemble des réels. On note \(x'\) sa dérivée.
    a. Déterminer \(x'(t)\) pour tout réel \(t\).
    b. Calculer \(x'(0)\).
    c. Nommer la grandeur physique à laquelle fait référence \(x'(0)\).
    d. Déduire de la question 2. a. la valeur de l'accélération définie sur l'intervalle de temps \([0\,;0{,}50]\), le temps étant exprimé en secondes. Interpréter le signe dans la situation étudiée.